普通の派遣社員が派遣先の正社員になれるのか？

普通の派遣社員(紹介予定派遣ではない)が、派遣先の企業で正社員になることはあります。

「派遣でいいやと思って入った企業で正社員に登用された」
「派遣で働くつもりだったのに入社してすぐ正社員の声がかかった」
という実際の経験談を聞いたことがあります。

ただし、ケースとしては少ないし、派遣社員が頑張ればなれるという類のものではないのでアテにしないほうがいいです。派遣先で正社員に登用されるかはこちらでコントロールは出来ることではないのでね。
「いつかは正社員になりたい」という考えがあるなら、はじめから正社員の求人に応募するか、紹介予定派遣を選ぶほうがいいですよ。

どんなに有能で社内で頼りにされている派遣社員でも正社員に登用されないというのは普通にあり得ます。

とある職場にて、長く勤めていてその職場のことも熟知している派遣社員が抵触日を向かえるので契約終了するという話がありました。
一緒に働いてた社員としては、その人がいなくなるのはデメリットなので残ってもらいたかったそうですが、組織の判断でその派遣社員は契約を終えてもらい、別の派遣社員に来てもらうという措置になったそうです。

その職場は派遣で長く働いてくれて職場のことも熟知している人を社員に転換するよりも、新しい人に来てもらって一から仕事を覚えてもらうコストのほうを選んだわけです。

私は派遣社員という働き方も世の中にあっていいと思うし、むしろ派遣を選びたいという人もいるので、誰がどんな雇用形態で働いたってそれは個人の選択の自由だと思っています。
ただ、自分の求めることが叶う環境なのかはちゃんと知っていおいたほうがいいと思います。

●まとめ
・派遣社員が派遣先企業に正社員登用されるケースはあるが少ない
・正社員登用は派遣社員の頑張りやスキルの高さでどうにか出来るわけではない
・正社員になりたいなら正社員で雇用される求人にはじめから応募すべし